En esta tesis estudiamos problemas relacionados con aplicaciones de varios tipos que alcanzan su norma u operadores que alcanzan su radio numérico. Tras un capítulo introductorio donde se comentan las notaciones, los principales conceptos, y un resumen histórico del estado del arte, hay 4 capítulos de contenido matemático donde se estudian diversos tipos de problemas. En el capítulo 2, se estudian clases de operadores entre espacios de Banach tales que cuando casi alcanzan su norma (respectivamente, su radio numérico) en un punto (respectivamente, un estado), necesariamente la alcanzan en un punto cercano (respectivamente, en un estado cercano). Se obtienen resultados positivos para dominios finito dimensionales, funcionales, operadores compactos, y operadores adjuntos, y se estudia si las condiciones obtenidas para dichos resultados son las óptimas o no. También se caracterizan por completo los operadores diagonales que pertenecen a dichas clases cuando el dominio es un espacio de Banach clásico de sucesiones, obteniendo como consecuencia que las proyecciones canónicas pertenecen a dichas clases. Se obtienen varios ejemplos positivos y negativos relativos a estas clases en varios espacios, y se estudia la relación entre ambas clases. En el capítulo 3, se introduce y estudia la propiedad de Bishop-Phelps-Bollobás para el radio numérico restringida al contexto de los operadores compactos. Adaptando los resultados existentes, se obtiene una primera gran colección de espacios de Banach clásicos que satisfacen la propiedad para operadores compactos como consecuencia de que la satisfacen en general. Se obtiene un resultado técnico que afirma que si ciertas proyecciones de un espacio de Banach satisfacen nuestra propiedad para operadores compactos de una forma uniforme, entonces el propio espacio de Banach también cumple dicha propiedad, y este resultado se usa para probar que los preduales isométricos de l_1 cumplen la propiedad. El resultado principal del capítulo afirma que si L es cualquier espacio topológico localmente compacto y Hausdorff, entonces el espacio C_0(L) de funciones continuas en L que se anulan en el infinito siempre tiene la propiedad para operadores compactos (algo que para operadores en general no se sabe por ahora), y para probarlo se demuestra primero un tipo de propiedad de aproximación simultánea para estos espacios y sus duales (basada en una construcción topológica) en conjunto con el lema técnico de las proyecciones. En el capítulo 4 se introducen nociones naturales de alcanzamiento de norma para productos tensoriales proyectivos de espacios de Banach y operadores nucleares entre espacios de Banach. Tras caracterizar los elementos que alcanzan su norma en términos de operadores clásicos, se demuestra que existen tensores y operadores nucleares que alcanzan sus respectivas normas, pero que no todos ellos lo hacen. Se encuentran múltiples resultados positivos sobre la densidad de los elementos de estos espacios que alcanzan su norma, y se prueba definitivamente que dicha densidad no siempre es cierta para tensores, aunque la pregunta análoga para operadores nucleares sigue abierta. Finalmente, en el capítulo 5 se estudian problemas sobre la espaciabilidad del conjunto de funciones Lipschitz que alcanzan su norma fuertemente sobre un espacio métrico infinito M, SNA(M). Primero demostramos que si el métrico es infinito, entonces SNA(M) es n-lineable para todo n. Vemos que todo espacio de Banach puede ser formado con funciones de SNA(M) para un métrico apropiado, y estudiamos posibles restricciones sobre qué espacios se pueden formar si el métrico es pequeño (separable, o incluso sigma-precompacto). Finalmente, se hace un estudio exhaustivo sobre la posibilidad de encontrar c_0 en SNA(M). Se demostró recientemente que eso se puede conseguir siempre isomorfamente, y nosotros demostramos que no siempre se puede hacer isométricamente, aunque vemos que en muchas ocasiones sí se puede. El capítulo concluye con un pequeño estudio para el caso no separable. Finalmente, hay un capítulo de conclusiones y preguntas abiertas, y una exhaustiva y extensa lista de referencias. // En aquesta tesi estudiem problemes relacionats amb diversos tipus de funcions que assoleixen la seua norma o operadors que assoleixen el seu radi numèric. Després d'un capítol introductori on es comenten les notacions, els conceptes principals, i un resum històric de l'estat de l'art, hi ha 4 capítols de contingut matemàtic on s'estudien diversos tipus de problemes. Al capítol 2, s'estudien classes d'operadors entre espais de Banach tals que quan gairebé assoleixen la seua norma (respectivament, el radi numèric) en un punt (respectivament, un estat), necessàriament l'assoleixen en un punt proper (respectivament, en un estat proper). S'obtenen resultats positius per a dominis de dimensió finita, funcionals, operadors compactes i operadors adjunts, i s'estudia si les condicions obtingudes per a aquests resultats són les òptimes o no. També es caracteritzen completament els operadors diagonals que pertanyen a aquestes classes quan el domini és un espai de Banach clàssic de successions, obtenint com a conseqüència que les projeccions canòniques pertanyen a aquestes classes. S'obtenen diversos exemples positius i negatius relatius a aquestes classes a diversos espais, i s'estudia la relació entre ambdues classes. Al capítol 3, s'introdueix i s'estudia la propietat de Bishop-Phelps-Bollobás per al radi numèric restringida al context dels operadors compactes. Adaptant-hi els resultats existents, s'obté una primera gran col·lecció d'espais de Banach clàssics que satisfan la propietat per a operadors compactes com a conseqüència que la satisfan en general. S'obté un resultat tècnic que afirma que si certes projeccions d'un espai de Banach satisfan la nostra propietat per a operadors compactes d'una forma uniforme, aleshores el mateix espai de Banach també compleix aquesta propietat, i aquest resultat s'empra per tal de provar que els preduals isomètrics de l_1 compleixen la propietat. El resultat principal del capítol afirma que si L és qualsevol espai topològic localment compacte i Hausdorff, aleshores l'espai C_0(L) de funcions contínues a L que s'anul·len a l'infinit sempre té la propietat per a operadors compactes (cosa que per a operadors en general no se sap ara com ara), i per provar-ho es demostra primer un tipus de propietat d'aproximació simultània per a aquests espais i els seus duals (basada en una construcció topològica) conjuntament amb el lema tècnic de les projeccions. Al capítol 4 s'introdueixen nocions naturals d'assoliment de norma per a productes tensorials projectius d'espais de Banach i operadors nuclears entre espais de Banach. Després de caracteritzar els elements que assoleixen la seua norma en termes d'operadors clàssics, es demostra que hi ha tensors i operadors nuclears que assoleixen les seues normes respectives, però que no tots ells ho fan. Es troben múltiples resultats positius sobre la densitat dels elements d'aquests espais que assoleixen la seva norma, i es prova definitivament que aquesta densitat no sempre és certa per a tensors, mentre que la pregunta anàloga per a operadors nuclears roman oberta. Finalment, al capítol 5 s'estudien problemes sobre l'espaiabilitat del conjunt de funcions Lipschitz que assoleixen la seva norma fortament sobre un espai mètric infinit M, SNA(M). Primer es demostra que si el mètric és infinit, aleshores SNA(M) és n-lineable per a tot n. Es prova que tot espai de Banach pot ser format amb funcions de SNA(M) per a un mètric apropiat, i estudiem possibles restriccions sobre quins espais es poden formar si el mètric és xicotet (separable, o fins i tot sigma-precompacte). Finalment, es fa un estudi exhaustiu sobre la possibilitat de trobar c_0 a SNA(M). Es va demostrar recentment que això es pot aconseguir sempre isomorfament, i nosaltres demostrem que no sempre es pot fer isomètricament, encara que veiem que moltes vegades sí que es pot. El capítol conclou amb un xicotet estudi per al cas no separable. Finalment, hi ha un capítol de conclusions i preguntes obertes, i una llista exhaustiva i extensa de referències.
